Dunya’nin merkezinden gecen tunel: 84 dakikada devr-i Dunya



Dunya’nin merkezinden gecen bir tunele bir kapsul icinde dusseniz, tunelin Dunya’nin obur ucundaki agzindan ne kadar sure sonra cikarsiniz?

Bu problem genel adi “terrestrial brachistochrone” olan problemin bir alt durumu oluyor [1]. “Terrestrial brachistochrone problem,” “Yersel en kisa zaman problemi” anlaminda, ve Dunya’nin bir yerinden bir yerine giderken hangi yol veya yollardan en kisa zamanda gidilebilecegini bulmayla alakali sorulari iceriyor. Bunun bir yuzyildan fazla bir suredir fizikcileri mesgul eden bir konu oldugunu ogrenince sasirmistim [2-7].

Yukarida sordugum sorunun uzun sayilabilecek bir cozumu var. Fakat ilginc bir sekilde “harmonik salinim sistemi” kavramini kullanarak cok kisa bir hesapla da cozulebilir.

Dunya’nin icinde olan ve merkezden r uzakliginda bulunan m kutlesindeki (diyelim siz) bir cisme etki edecek cekim kuvveti, soyle verilir:



Burada G gravistasyon sabiti, M Dunya’nin kutlesi,
 
Dunya’nin yari capidir. Bu cekim kuvveti su sekilde de yazilabilir:

Eksi isareti devamli merkeze dogru olan cekimsel bir kuvvet ifade eder. Burdaki K’ya kuvvet sabiti denir ve salinimin gidip-gelme periyodunun hesabinda soyle kullanilir. Yukaridaki iki kuvvet denklemini karsilastirirsak sunu elde ederiz




(son parametre Dunya’nin cekimsel ivmesidir).

Tipki salincaklardaki gibi, cekim etkisi altindaki cisim bir ileri bir geri salinim yapar. Boyle bir salinim icin gidip gelme periyodu soyle hesaplanir:


Yani Allah muhafaza :) Dunya'nin mekezinden gecen bir tunnelden duserseniz eger, diger taraftan aslinda kisa sayilabilecek 42.2 dakika sonra cikarsiniz. Averaj olarak hiziniz yaklasik olarak 18000 km/saat olmakla birlikte, hesabimda hata yapmadiysam Dunya’nin merkezinden gecerken ki hiziniz yaklasik olarak 28500 km/saat’e cikacaktir.

Notlar:

[1] 5-6 yaslarindayken babamla Hanak ilcemizin postanesine mektup atmaya gittik. Babam mektubu dikdortgen agizli yassi mektup slotuna atti. Mektup kayip gitti. Ben kendi kendime “Demek ki Dunya yuvarlak oldugu icin Dunya’nin degisik yerlerine, mesela Dunyanin obur ucunda olan Japanya’ya, mektup boyle gonderiliyor. Mektup yercekimiyle kayip bedavadan gidiyor.” Hic unutmuyorum Japonya aklima bilhassa gelmisti. Ne ilginctir ki aradan uzun yillar gecti ve ben boyle bir dusuncenin birakin mektuplari, toplu tasima araclari icin en azindan teorik olarak fizikciler tarafindan dusunuldugunu ogrendim... Tabi benim de fizikci olmam olayin ayri bir cilvesi.

[2] P. G. Kirmser, “An example of the need for adequate references,” Am. J. Phys. 34, 701 (1966).

[3] P. W. Cooper, “Through the Earth in forty minutes,” Am. J. Phys. 34, 68 (1966).

[4] P. W. Cooper, “Further commentary on ‘Through the Earth in forty minutes,’” Am. J. Phys. 34, 703-704 (1966).

[5] G. Venezian, “Terrestrial brachistochrone,” Am. J. Phys. 34, 701 (1966).

[6] R. L. Mallett, “Comments on ‘Through the Earth in forty minutes,’” Am. J. Phys. 34, 702 (1966).

[7] L. J. Laslett, “Trajectory for minimum transit time through the Earth,” Am. J. Phys. 34, 702-703 (1966).